PWM, average & rms

Motivasi

Pada artikel sebelumnya, telah dikumpulkan alur belajar tentang frekuensi, periode, duty cycle, dan PWM. Di artikel itu diharapkan sudah dapat terselesaikan permasalahan tentang pengukuran dan pengaturan waktu pada sinyal PWM.

Di instrumen oscilloscope hasil pengukuran rentang waktu yang berlalu ditampilkan pada sumbu horizontal. Pengaturan tampilan dilakukan dengan manipulasi pada knob time/div.

Langkah berikutnya adalah menentukan besar nilai sinyal. Bisa berupa nilai arus atau yang lebih sering adalah nilai tegangan. Di oscilloscope besar sinyal diukur pada sumbu vertikal. Pengaturan tampilan dilakukan dengan memanipulasi knob volt/div.

Dapatkah anda menghitung dan memahami nilai pengukuran dari simulasi pada Tina-TI di Gambar 1?

Gambar 1. [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]

 Rectangular, Square, Pulse train 

Pengukuran besar sinyal tidak hanya memerlukan pengetahuan tentang besar nilai (absolut), tetapi juga memerlukan pengetahuan tentang bentuk gelombang dan polaritas.

Ada beberapa istilah yang bisa menimbulkan kebingungan, misalnya:

Rectangular wave, square wave, unidirectional waveforms, bidirectional waveforms, alernating waveforms, pulse, pulse train.

Penyebutan nama gelombang biasanya juga berdasar pada tipenya secara matematis.

Gambar dari Difference Wiki di atas ini mungkin akan dapat cepat mengingatkan kita akan perbedaan keduanya.

Kata rectangle dapat ditermahkan menjadi segi empat atau (yang lebih tepat) persegi panjang. Berikut ini ilustrasi yang diambil dari Wikipedia:

Rectangle Geometry Vector.svg

Sedangkan segi empat yang sama sisi disebut sebagai square. Biasa diterjemahkan sebagai persegi atau (yang lebih umum) bujur sangkar. Berikut adalah gambar dari Urban Dictionary:

Image result for

Sudahkah menjadi jelas perbedaan antara square dengan rectangle? Jika belum, lihatlah gambar yang diperoleh dari Quora berikut ini:

Dalam bahasa Indonesia, kadang-kadang beberapa penyebutan berbeda mengacu pada geometri yang sama.

Silakan baca artikel menarik dengan penjelasan rinci dari mikirbae yang salah satu gambarnya saya kutip sebagai berikut:

aneka bangun datar

Juga penjelasan dan contoh soal dari situs “ukuran dan satuan“:

 

Istilah atau kata kotak sendiri memiliki konsekuensi adanya volume. Tetapi kata ini sering dipergunakan untuk menggambarkan sesuatu yang memiliki bentuk dua dimensi seperti persegi/bujur sangkar dan persegi panjang. Maka sering ditemui istilah ‘gelombang kotak’.

Setelah menyegarkan kembali ingatan tentang persamaan dan perbedaan antara square (persegi atau bujur sangkar) dengan rectangle (segi empat atau persegi panjang), kita bisa melanjutkan ke penerapannya pada penamaan gelombang.

Penamaan ‘gelombang kotak’ dapat menimbulkan kerancuan jika tidak diperhatikan dan dipilah dengan baik. Untuk itu setelah frekuensi dan periode dibahas di artikel sebelumnya, kali ini kita lanjutkan dulu pembahasan mengenai penamaan gelombang berdasarkan lebar pulsanya (pulse width) baru kemudian mempelajari mengenai polaritas sinyal.

Gambar 2. [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]
Gambar 3. [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]

Gambar 2 yang diperoleh dari Wikipedia memperlihatkan perbandingan antara square wave dengan bentuk gelombang yang lain. Abaikan terlebih dahulu amplitudo dan polaritas gelombang. Perhatikan dulu lebar pulsanya (pulse width), perbandingan antara waktu ON (high) terhadap waktu OFF (low).

Gambar 3, yang juga diperoleh dari Wikipedia menunjukkan gelombang yang dinamakan sebagai rectangular wave atau pulse wave atau pulse train. Bisa dilihat bahwa lebar pulsa tidak lagi 50 %, meskipun bentuknya sama-sama menyerupai ‘kotak’.

Dikatakan juga bahwa square wave (gelombang persegi atau bujur sangkar) merupakan ‘kasus khusus’ dari rectangular wave. Yaitu suatu rectangular wave yang memiliki duty cycle sebesar 50 %.

Setelah memahami persamaan dan perbedaan antara square wave dengan rectangular wave berdasarkan lebar pulsa (pulse width) arau duty cycle, berikutnya kita akan melihatnya dari sisi polaritas sinyal.

Suatu sinyal (signal) dikatakan memiliki polaritas yang berbalik (alternate) jika amplitudonya berubah/berpindah dari positif ke negatif, atau sebaliknya. Bisa juga disebut sebagai bidirectional waveforms atau alernating waveforms.

Sinyal yang tidak pernah mengalami perubahan polaritas disebut sebagai unidirectional waveforms. Baik square wave maupun rectangular wave (selain square wave) dapat merupakan sinyal  yang unidirectional maupun bidirectional/alternating/bipolar.

Gambar 4. [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]

Gambar 4 diperoleh dari situs produsen instrumen elektronik Tektronix. Pada gambar itu baik square wave maupun rectangular wave merupakan alternating wave/bidirectional wave/bipolar. Berbeda dengan Gambar 3 yang menunjukkan rectangular wave yang unipolar.

Pemahaman ini penting karena kadang-kadang ditemui keterangan/gambar yang hanya menyampaikan kombinasi yang tidak lengkap. Misalnya pada Gambar 5 berikut ini yang diperoleh dari situs yang sangat bagus dalam membahas ilmu elektrikal milik James Irvine. Pada tabel di Gambar 5 di bawah ini square wave yang ditampilkan merupkan gelombang yang alternating wave/bipolar wave/bidirectional wave. Sedangkan rectangular wave yang ditampilkan adalah unidirectional wave. Yaitu gelombang yang nilainya positif saat high, dan akan bernilai 0 saat low.

Gambar 5. [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]

 Unidirection Rectangular Wave 

Untuk memudahkan pembahasan, kita mengikuti filosofi bahwa sebaiknya kita belajar dengan sesuatu yang sederhana terlebih dahulu. Setelah bentuk yang sederhana dipahami barulah secara bertahap kita dapat menambah kompleksitas bahan belajar. Untuk itu, dalam belajar melakukan perhitungan amplitudo gelombang kotak (square wave/rectangular wave), kita sebaiknya mulai dari tipe unidirectional wave. Sinyal yang akan dihitung hanya berada dalam satu polaritas saja yaitu wilayah positif. Pada keadaan terendahnya sinyal ini akan bernilai 0 (nol) volt atau 0 (nol) ampere.

Gambar 6. [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]

Dapatkah anda menghitung nilai average (rata-rata) dan rms pada Gambar 6, yang merupakan hasil simulasi dengan Tina-TI, di atas?

Gelombang pada Gambar 6 adalah square wave, yaitu sinyal PWM rectangular wave yang memilki duty cycle sebesar 50 %. Lebar pulsa, pulse width atau positive pulse width sebesar 10 ms. Periode untuk satu siklus penuh adalah 20 ms. Tegangan maksimum pada saat ON (high) adalah 5 V, sedangkan tegangan minimum saat OFF (low) adalah sebesar 0 V.

Persamaan berikut dipakai untuk mencari nilai rata-rata (average):

Untuk sinyal pada Gambar 6, perhitungan akan seperti ini:

Untuk mencari nilai rms (root-mean-square) dari gelombang kotak persegi (square wave) dapat dipakai persamaan berikut:

Untuk sinyal pada Gambar 6, akan didapat hasil:

Kedua perhitungan itu sebenarnya sama, tetapi berbeda cara dalam menyatakan pemisahan nilai desimal. Yang satu menggunakan ‘koma’ dengan tanda koma (,) sedang yang lain menggunakan tanda titik (.) untuk ‘koma’ (pemisah nilai desimal).

Gambar 7. [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]

Pada Gambar 7, dapat dilihat gelombang kotak yang merupakan rectangular wave. Yaitu pulse train dari PWM yang duty cycle-nya tidak bernilai 50 %. Nilai pulse width (pulse active time) sebesar 5 ms, sedangkan nilai negative pulse width sebesar 15 ms, sehingga nilai periode sebesar 20 ms.

Pada bentuk sinyal seperti ini, nilai rata-rata (misalnya tegangan rata-rata) dapat dihitung dengan persamaan berikut:

Untuk Gambar 7, hasil perhitungan akan seperti ini:

Anda mungkin memperhatikan bahwa sekalipun hasilnya berbeda, tetapi persamaan untuk mencari nilai rata-rata pada Gambar 7 sama dengan persamaan rata-rata pada Gambar 6.  Bedanya pada square wave nilai positive pulse width selalu setengah dari besar nilai periode.

Untuk mencari nilai rms pada rectangular wave seperti pada Gambar 7 dipergunakan persamaan berikut:

Persamaan ini juga dapat dipergunakan pada unidirectionial square wave karena gelombang itu merupakan kasus khusus dari unidirectional rectangular wave.

Hasil perhitungan untuk Gambar 7 akan seperti ini:

 Bidirection Rectangular Wave 

Pada percobaan dasar di laboratorium elektronika daya, umumnya yang dipergunakan adalah unidirectionial wave. Tetapi kadang-kadang kita akan menemui gelombang yang bipolar, memiliki nilai positif dan negatif. Seperti simulasi dengan Multisim Live pada Gambar 8 berikut ini.

Gambar 8. [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]
Gambar 9. [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]
Gambar 10. [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]

Untuk mempermudah belajar kita akan mencari contoh yang mudah untuk dipahami. Saya menemukan contoh yang bagus untuk dijadikan bahan belajar untuk menentukan nilai rata-rata bipolar/bidirectional rectangular wave. Gambar 9 adalah visualisasi dengan simulasi LTspice dari contoh perhitungan yang saya capture dan tampilkan pada Gambar 10. Kuncinya adalah perthitungan integral (jumlah) dari keseluruhan nilai amplitudo sinyal (misalnya tegangan) untuk seluruh rentang periode dibagi dengan periode. Pada kedua gambar dapat dilihat bahwa nilai rata-rata sama dengan 1,8 V.

Untuk mencari nilai rms pada Gambar 9 di atas (klik Gambar 9 untuk memperbesar tampilan), maka diperlukan persamaan sebagai berikut:

Pada contoh Gambar 9 hasil perhitungannya akan sama dengan hasil simulasi, yaitu:

Bagaimana dengan rectangular wave yang memiliki postur simetris seperti pada Gambar 8 di atas? Kita dapat melakukan simulasi kembali dengan LTspice seperti pada Gambar 11.

Gambar 11. [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]

Hasil simulasi LTspice pada Gambar 11 dapat dibandingkan dengan perhitungan manual. Perhitungan untuk nilai rata-rata dapat menggunakan persamaan yang sama seperti pada Gambar 10. Baik hasil perhitungan maupun penalaran sederhana akan menghasilkan nilai yang sama, yaitu 0 (nol). Luas wilayah positif sama persis dengan luas wilayah negatif, karena itu nilai rata-ratanya sama dengan nol.

Adapun hasil pada Gambar 11 yaitu 9,1667 nV merupakan ketidakidealan yang dapat diabaikan dan diartikan sama dengan nol untuk gelombang ideal. Pengukuran pada sistem fisik juga akan memberikan nilai yang hampir selalu tidak ideal. Baik karena bentuk sinyal/gelombangnya ataupun karena akurasi & resolusi sistem alat ukurnya.

Pada Gambar 11 di atas pula bisa kita lihat nilai rms yaitu sebesar 5 V. Memang untuk bidirectional square wave/bipolar pulse waveform seperti itu, nilai rms selalu sama dengan nilai puncaknya.

Jika tertarik untuk lebih lanjut mempelajari tentang perhitungan rectangular wave/square wave baik yang unidirectional maupun yang alternating / bipolar / bidirectional, dapat membaca dua artikel berikut:

  1. How to derive the rms value of pulse and square waveforms
  2. RMS of A Square Pulse Train – John Dunn, Consultant, Ambertec, P.E., P.C.

Mencari [model] komponen untuk simulasi LTspice

Pada post yang lalu saya telah mengungkapkan contoh penggunaan model pada simulasi di simulator LTspice. Di tulisan Model diode di LTspice, saya memperkenalkan model komponen dengan komponen diode sebagai contoh. Berikutnya pada post Contoh model SPICE dari diode untuk LTspice , saya memaparkan contoh cara mencari dan mempergunakan model SPICE untuk komponen standar di LTspice. Di situ komponen yang dipergunakan masih berupa diode. Untuk komponen seperti diode, bahkan BJT maupun MOSFET, pengguna masih bisa mempergunakan symbol yang disediakan oleh LTspice. Yang perlu ditambahkan adalah model SPICE yang ekivalen dengan unjuk kerja elektronis dari komponen yang akan dipakai.

Tetapi ada kalanya pengguna perlu mempergunakan komponen yang berbeda dengan simbol yang telah disediakan oleh LTspice. Terkadang bahkan ada saat pengguna lebih mudah untuk mempergunakan symbol yang sudah disediakan bersama dengan pustaka (library) model komponen oleh pengguna lain (termasuk produsen pembuat komponen).

Sekadar sebagai contoh, komponen yang bisa jadi belum tersedia misalnya adalah komponen regulator tegangan seperti 7805 dan IC x555 (NE555, LM555). Seperti keluarga x78xx lainnya (LM7812 misalnya), komponen LM7805 menggunakan simbol komponen berkaki tiga. IC x555 mempergunakan simbol kotak berkaki delapan.

Motivasi utama dalam tulisan ini adalah untuk memberikan pelajar (terutama dalam hal ini mahasiswa) semangat tambahan untuk mampu mencari model komponen yang sesuai dan untuk kemudian mempergunakannya. Era saat tulisan ini dibuat adalah era yang disebut era informasi [MIT link] [1]. Meskipun era informasi sudah bertahun-tahun didengungkan dan menurut beberapa sumber sekarang ini sebenarnya sudah mulai memasuki era imajinasi ( imagination age [Forbes link] ) [2]. Oleh karena itu pola pelatihan, pengajaran dan pendidikan yang bertumpu pada model era industri (industrial age) sudah tidak lagi cocok untuk kehidupan modern (era ini) [3] [4].

Salah satu wujud keterampilan dasar yang diperlukan di era ini adalah kemampuan untuk mencari informasi. Pelajaran elektronika daya juga tidak terlepas dari pola ini. Alih-alih hanya menerima informasi, mahasiswa diajar dan dilatih untuk mampu mencari sendiri informasi yang diperlukan. Dengan perumpamaan yang sederhana, ini sama seperti memberi alat pancing dan melatih cara mempergunakannya ketimbang langsung memberi ikan setiap kali dibutuhkan. Di masa yang akan datang, dengan keterampilan yang dimiliki, bahkan tanpa bantuan pelatih, alumnus sudah mampu mencari sendiri informasi yang diperlukannya dengan efektif dan efisien.

Gambar 1.

Lebih lanjut untuk pembahasan mengenai cara belajar dan pola pendidikan tinggi dapat dilihat kembali pada dua tautan berikut: link 1, link 2. Singkatnya adalah suatu kewajaran dan bahkan kewajiban bagi lulusan pendidikan tinggi untuk lebih mampu secar mandiri mencari dan memanfaatkan informasi dibandingkan dengan mereka yang berada di jenjang kualifikasi satu sampai empat. Dengan demikian sumber daya yang dipergunakan untuk menyelesaikan proses pendidikan tinggi menjadi lebih berarti, tidak menjadi sia-sia.

Kunci utama dari belajar untuk mencari informasi yang diperlukan ini adalah kemauan untuk berproses. Terjemahan yang sederhana dan gamblang adalah: tidak malas berpikir. Dalam dunia sains dan rekayasa (engineering), kemalasan dalam “dosis” tertentu memiliki peran positif dan tempatnya tersendiri. Tanpa adanya “kemalasan yang proporsional”, orang akan mudah menghamburkan semua sumber daya yang ada tanpa perhitungan yang baik, tidak efisien dan bahkan bisa jadi tidak efektif. Namun demikian kemalasan yang amat sangat yang tidak pada tempatnya malah akan membahayakan upaya pencapaian sesuatu yang diinginkan/diharapkan. Malas berpikir menjadi penyebab dari malas berusaha. 

Contoh pertama dari proses ini adalah pencarian model untuk simulasi rangkaian regulator tegangan. Pada proses ini bisa dilihat bagaimana kadang-kadang pencarian informasi yang sesuai tidak dapat dilakukan “satu kali jadi”. Kadang-kadang pencarian perlu dilakukan beberapa kali. Dari satu sumber ke sumber lainnya secara bertahap dan berantai. Dari sumber bahasan yang lebih umum ke sumber bahasan yang lebih spesifik, lebih khusus. Ada kalanya juga pencarian dilakukan dari sumber yang sama tingkat kekhususannya tetapi informasi yang disediakannya tidak tepat, salah, atau tidak sesuai. Misalnya suatu halaman pada situs mencantumkan model dari satu komponen yang dibutuhkan tetapi setelah dicoba, model tersebut tidak berfungsi baik. Sementara di halaman itu tersedia juga link  ke (halaman) situs/sumber yang lain yang bisa dicoba. 

Pencarian umumnya bisa dimulai dengan mempergunakan mesin pencari umum seperti Google, Bing, DuckDuckGo atau Ixquick. Untuk model komponen SPICE (misalnya untuk LTspice), banyak model yang akan ditemukan di luar situs resmi produsen komponen. Misalnya di situs forum pengguna LTspice, atau di forum-forum yang membahas tentang elektronika (komponen, rangkaian atau sistem). Misalnya seperti yang terlihat di Gambar 2.

Gambar 2.

Gambar 3

Pada Gambar 3 dapat dilihat bahwa salah seorang user dalam forum ini memberikan tanggapan berupa file model yang dapat dicoba. Di Gambar 4 terlihat model yang sudah saya ekstrak dari format kompresi zip ke dalam folder/direktori yang sesuai di LTspice.

Gambar 4.

Gambar 5.

Uji dalam bentuk yang paling sederhana dapat dilakukan untuk melihat apakah model yang tersedia sudah sesuai dengan kebutuhan pengguna, sebagaimana terlihat pada Gambar 5. Sering kali pengujian yang paling sederhana adalah justru pengujian yang tepat untuk melihat unjuk kerja komponen. Hal ini juga bersesuaian dengan prinsip Occam’s razor [5]. Kemudian bergantung pada keperluan simulasi, tingkat keakuratan model dapat dibandingkan satu sama lain dan diambil yang paling sesuai.

Model komponen 7805 ini hanyalah sebagai contoh bagaimana suatu model SPICE dapat ditemukan. Pada prinsinya, tergantung tingkat kebutuhan maka suatu model komponen untuk simulasi rangkaian dapat diupayakan sungguh-sungguh untuk diketemukan. Terlebih untuk komponen yang diketahui relatif banyak dipergunakan. Syarat dasar yang mutlak adalah tidak malas berpikir dan berusaha.

Berikutnya adalah contoh pencarian rangkaian yang mempergunakan IC x555. Ada beberapa model komponen yang disediakan oleh pengguna lain, tetapi untuk mengawali belajar bisa memulai dari komponen yang telah tersedia.

Gambar 6.

Gambar 7.

Gambar 6 memperlihatkan salah satu halaman pada sebuah situs yang memaparkan tentang simulasi x555 (NE555) mempergunakan LTspice. Di dalamnya sudah terdapat file simulasi yang bisa diunduh (download). Hasil percobaannya diperlihatkan pada Gambar 7. Sedangkan pada Gambar 8 berikut, simulasi dilakukan dengan model modifikasi dari sumber lain.

Gambar 8.

Model dan rangkaian simulasi yang lain dapat ditemukan dengan cara yang sama. Salah satu yang memudahkan adalah dengan bantuan pencarian lewat gambar, misalnya dengan Google Image seperti pada Gambar 9.

Gambar 9.

Save

Footnotes    (↵ returns to text)

  1. The Information Age (also known as the Computer Age, Digital Age, or New Media Age) is a period in human history characterized by the shift from traditional industry that the Industrial Revolution brought through industrialization, to an economy based on information computerization. The onset of the Information Age is associated with the Digital Revolution, just as the Industrial Revolution marked the onset of the Industrial Age. ~Wikipedia  
  2. The imagination age is a theoretical period beyond the information age where creativity and imagination will become the primary creators of economic value. This contrasts with the information age where analysis and thinking were the main activities. ~Wikipedia  
  3. The Industrial Age is a period of history that encompasses the changes in economic and social organization that began around 1760 in Great Britain and later in other countries, characterized chiefly by the replacement of hand tools with power-driven machines such as the power loom and the steam engine, and by the concentration of industry in large establishments. ~Wikipedia 
  4. The industrial age is over. The computer, not the engine, is the dominant machine in today’s business world. Thinking is the most valuable skill in a post-industrial economy. No wonder philosophers are doing better and better. ~WHY PHILOSOPHY? 
  5. Salah satu prinsip yang terkenal dalam ilmu pengetahuan (atau lebih khususnya dalam sains) adalah prinsip gunting Ockham (Ockham’s razor principle). Prinsip ini menyatakan kita sebaiknya membuat asumsi tidak melebihi kebutuhan minimum. Jika terdapat lebih dari satu penjelasan untuk satu keadaan maka penjelasan yang paling sederhana yang biasanya yang paling baik, tapi tentunya semua penjelasan yang ada yang kemudian dibandingkan adalah penjelasan-penjelasan yang telah memenuhi kecukupan dalam mewakili eksperimen yang ada. Einstein pada tahun 1933 di buku berjudul On the Method of Theoretical Physics menyatakan: “it can scarcely be denied that the supreme goal of all theory is to make the irreducible basic elements as simple and as few as possible without having to surrender the adequate representation of a single datum of experience.” ~Ockhams Razor Principle  

Pengaruh resolusi / ketelitian pada simulasi dan perhitungan.

 

Mari memulai dengan suatu contoh yang sangat sederhana. Berapakan empat ditambah dengan tiga di dalam perhitungan basis sepuluh?

screenshot_20161018-214259.jpgGambar 1.

Sayangnya tidak semua perhitungan semudah dan setepat sebagaimana pada Gambar 1. Ada perbedaan pada hasil perhitungan (dan karenanya) hasil simulasi yang perlu diperhatikan sehingga tidak akan menjadi sumber kebingungan dan bahkan keraguan terhadap landasan teoritis yang sebenarnya tidak memiliki alasan yang cukup kuat. Terutama dalam engineering technology yang titik beratnya adalah untuk memanfaatkan temuan-temuan dalam sains dan teknologi.

Gambar 2.

Gambar 3.

Gambar 4.

Gambar 5.

Gambar 6.

Gambar 7.

screenshot_20161018-220353.jpgGambar 8.


https://en.wikipedia.org/wiki/Round-off_error

A round-off error, also called rounding error, is the difference between the calculated approximation of a number and its exact mathematical value due to rounding. This is a form of quantization error. One of the goals of numerical analysis is to estimate errors in calculations, including round-off error, when using approximation equations and/or algorithms, especially when using finitely many digits to represent real numbers (which in theory have infinitely many digits).

When a sequence of calculations subject to rounding error is made, errors may accumulate, sometimes dominating the calculation. In ill-conditioned problems, significant error may accumulate.

The error introduced by attempting to represent a number using a finite string of digits is a form of round-off error called representation error. Here are some examples of representation error in decimal representations:

Gambar 9.

How to correct rounding errors in floating-point arithmetic

Many combinations of arithmetic operations on floating-point numbers in Microsoft Excel and Microsoft Works may produce results that appear to be incorrect by very small amounts. For example, the equation
=1*(.5-.4-.1)
may be evaluated to the quantity (-2.78E-17), or -0.0000000000000000278 instead of 0.

 

The IEEE 754 standard is a method of storing floating-point numbers in a compact way that is easy to manipulate. This standard is used by Intel coprocessors and most PC-based programs that implement floating-point math.

IEEE 754 specifies that numbers be stored in binary format to reduce storage requirements and allow the built-in binary arithmetic instructions that are available on all microprocessors to process the data in a relatively rapid fashion. However, some numbers that are simple, nonrepeating decimal numbers are converted into repeating binary numbers that cannot be stored with perfect accuracy.

For example, the number 1/10 can be represented in a decimal number system with a simple decimal:
.1
However, the same number in binary format becomes the repeating binary decimal:
.0001100011000111000111 (and so on)
This number cannot be represented in a finite amount of space. Therefore, this number is rounded down by approximately -2.78E-17 when it is stored.

If several arithmetic operations are performed to obtain a given result, these rounding errors may be cumulative.

Rounding Error
Jeffrey L. Popyack, June 2000

Rounding (roundoff) error is a phenomenon of digital computing resulting from the computer’s inability to represent some numbers exactly. Specifically, a computer is able to represent exactly only integers in a certain range, depending on the word size used for integers. Certain floating-point numbers may also be represented exactly, depending on the representation scheme in use on the computer in question and the word size used for floating-point numbers. Certain floating-point numbers cannot be represented exactly, regardless of the word size used.

Errors due to rounding have long been the bane of analysts trying to solve equations and systems. Such errors may be introduced in many ways, for instance:

+ inexact representation of a constant

+ integer overflow resulting from a calculation with a result too large for the word size

+ integer overflow resulting from a calculation with a result too large for the number of bits used to represent the mantissa of a floating-point number

+ accumulated error resulting from repeated use of numbers stored inexactly

 

Summary

Rounding error is a natural consequence of the representation scheme used for integers and floating-point numbers in digital computers. Rounding can produce highly inaccurate results as errors get propagated through repeated operations using inaccurate numbers. Proper handling of rounding error may involve a combination of approaches such as use of high-precision data types and revised calculations and algorithms. Mathematical analysis can be used to estimate the actual error in calculations.

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Rounding

Rounding a numerical value means replacing it by another value that is approximately equal but has a shorter, simpler, or more explicit representation; for example, replacing £23.4476 with £23.45, or the fraction 312/937 with 1/3, or the expression √2 with 1.414.

Rounding is often done to obtain a value that is easier to report and communicate than the original. Rounding can also be important to avoid misleadingly precise reporting of a computed number, measurement or estimate; for example, a quantity that was computed as 123,456 but is known to be accurate only to within a few hundred units is better stated as “about 123,500”.

On the other hand, rounding of exact numbers will introduce some round-off error in the reported result. Rounding is almost unavoidable when reporting many computations — especially when dividing two numbers in integer or fixed-point arithmetic; when computing mathematical functions such as square roots, logarithms, and sines; or when using a floating point representation with a fixed number of significant digits. In a sequence of calculations, these rounding errors generally accumulate, and in certain ill-conditioned cases they may make the result meaningless.

Accurate rounding of transcendental mathematical functions is difficult because the number of extra digits that need to be calculated to resolve whether to round up or down cannot be known in advance. This problem is known as “the table-maker’s dilemma”.

Rounding has many similarities to the quantization that occurs when physical quantities must be encoded by numbers or digital signals.

A wavy equals sign (≈) is sometimes used to indicate rounding of exact numbers. For example: 9.98 ≈ 10.

https://en.wikipedia.org/wiki/Significant_figures

The significant figures of a number are digits that carry meaning contributing to its measurement resolution. This includes all digits except:

+ All leading zeros;
+ Trailing zeros when they are merely placeholders to indicate the scale of the number (exact rules are explained at identifying significant figures); and
+ Spurious digits introduced, for example, by calculations carried out to greater precision than that of the original data, or measurements reported to a greater precision than the equipment supports.

Simulasi model diode di LTspice

 


Gambar 1.

Gambar 2.

Gambar 3.

Untuk nilai breakdown voltage dari perusahaan/produsen/pabrikan lain, silakan melihat kembali pada tulisan yang lalu.

.MODEL elda5b d
+IS=1.22478e-08 RS=0.0414786 N=1.83369 EG=0.6
+XTI=0.05 BV=10 IBV=5e-08 CJO=1e-11
+VJ=0.7 M=0.5 FC=0.5 TT=1e-09
+KF=0 AF=1

Gambar 4.

Gambar 5.

Gambar 6.

Gambar 7.

Gambar 8.

Gambar 9.

Gambar 10.

Gambar 11.

Gambar 12.

Gambar 13.

Gambar 14.

Gambar 15.

Gambar 16.

Gambar 17.

Gambar 18.

Gambar 19.

Gambar 20.

Gambar 21.


Gambar 22.

Gambar 23.

Gambar 24.

Gambar 25.

Gambar 26.

Gambar 27.

Gambar 28.

Gambar 29.

Gambar 30.

Gambar 31.

Gambar 32.

Gambar 33.

Gambar 34.


Contoh pengerjaan penyearah setengah gelombang [sakelar ideal]

Tulisan ini merupakan kelanjutan dari tulisan sebelumnya yang merupakan pengantar. Disarankan untuk terlebih dahulu membaca tulisan sebelumnya mengenai penyearah setengah gelombang, kemudian membaca mengenai nilai offset pada gelombang sinus.

Gambar  1.

Gambar  2.

Gambar  3.

Gambar  4.

Gambar  5.

Gambar  6.

Gambar  7.

[1] … \(\large a^2 = b^2 + c^2\)

[2] … \(\large a = \sqrt{b^2 + c^2}\)

[3] … \(\large \sqrt{a^2-b^2} = c\)

[4] … \(\large U_{rms\: ac+dc}=\sqrt{U_{average\: dc}^2+U_{rms\: ac}^2}\)

[5] … \(\large \sqrt {U_{rms\: ac+dc}^2-U_{rms\: ac}^2}=U_{average\: dc}\)

[6] … \(\large \sqrt {U_{rms\: ac+dc}^2-U_{average\: dc}^2} = U_{rms\: ac}\)

Pada sistem yang disimulasikan, amplitudo tegangan masukan adalah sebesar 16.999 V (≈ 17V), maka tegangan RMS masukan (AC+DC) “terukur” sebesar 12.021 V dan nilai average DC sebesar -452.62 pV yang sesuai dengan perhitungan teoritis secara praktis dapat dianggap setara dengan 0 V.

Berbeda dengan pengukuran dengan menggunakan DMM Fluke 179 , dalam contoh ini “pengukuran” nilai tegangan dengan menggunakan tools pada LTspice akan menghasilkan dua besaran di sisi keluaran, yaitu Urms ac+dc dan Uaverage dc.

Tegangan keluaran Urms ac+dc adalah sebesar 8.5 V dan Uaverage dc sebesar 5.4113 V. Maka dengan menggunakan persamaan [6] perhitungan yang dihasilkan adalah:

( (Urms ac+dc )2 – (Uaverage dc)2 )0.5 =  6.555 V.

Nilai Urms ac =  6.555 V hasil dari perhitungan  tersebut dapat dibandingkan dengan hasil simulasi pada Gambar 8. Di Gambar 8, pada plot pane paling atas dengan gambar sinyal berwarna biru menunjukkan sinyal AC+DC yang dikurangkan dengan nilai DC. Dari hasil “pengukuran” pada simulasi, nilai rms yang masih mengandung unsur DC dikurangi dengan nilai DC. Dapat dilihat bahwa hasil “pengukuran” dengan tool dari LTspice adalah 6.555 V sama dengan hasil perhitungan. Bisakah dibayangkan bahwa sinyal yang tampaknya “DC murni” tanpa pernah menyeberang ke wilayah kuadran tengangan negatif itu ternyata memiliki nilai RMS AC? Silakan ditelusuri lebih lanjut, silakan Googling antara lain dengan kata-kata kunci pulsating DC. Lalu coba pikirkan mengapa berbeda dengan hasil pengukuran dengan DMM Fluke 179? Dapatkah menghubungkan fenomena yang diungkap di artikel ini dengan mode pengukuran AC pada multimeter yang memiliki fitur TrueRMS (atau yang serupa/sebanding)?

Gambar  8.


Tabel 1. Hasil pengukuran

Vrms_AC_in

[V]

UdAV=VDC

[V]

UdRMS=VAC+DC

[V]

UdAC=VAC

[V]

IdAV=IDC

[V]

IdRMS=IAC+DC

[V]

IdAC=IAC

[V]

12.021 5.4113 8.5 ? 54.113 85 ?


Tabel 2. Hasil pengukuran dan perhitungan

Vrms_AC_in

[V]

UdAV=VDC

[V]

UdRMS=VAC+DC

[V]

UdAC=VAC

[V]

IdAV=IDC

[V]

IdRMS=IAC+DC

[V]

IdAC=IAC

[V]

12.021 5.4113 8.5 6.555 54.113 85 65.55


 

 

Gambar  9a. Menjalankan program di Scilab offline.

Gambar  9b. Menjalankan program di Scilab online.

Gambar  10.

Gambar  11.

Sampai tulisan ini saya buat penggunaan aplikasi Scilab secara online melalui rollApp tidak semudah dan secepat penggunaan aplikasi GNU/Octave secara online. Karena itu sampai update di waktu mendatang, penggunaan Scilab secara offline lebih dianjurkan.


Gambar  12.

Keseluruhan data yang didapatkan dari “pengukuran” menggunakan fasilitas dari LTspice dan juga data hasil perhitungan dapat dikumpulkan menjadi satu dalam tabel. Dengan demikian fakta berupa data dapat diolah menjadi informasi. Istilah-istilah yang belum dipahami dapat dicari keterangannya di Internet dan dibandingkan antara satu sumber informasi dengan yang lainnya.

Tabel 3.

 

Tabel 4.

Untuk ilmu pengatahuan yang telah sejak lama ditata secara sistematis, umumnya  telah teradapat sumber-sumber belajar yang memadai. Terutama di era modern, era Internet seperti ini. Persoalannya adalah niat yang kuat dan kesempatan (waktu) untuk bertekun mencari dan mempelajarinya. Dari teori penunjang , simulasi dan perhitungan dapat dilihat “benang merah”, kesamaan pola data dan hasil perhitungan.

Pada kesempatan ini pengukuran pada komponen dan rangkaian (sistem) perangkat keras (hardware) disimulasikan dengan software LTspice. Lalu perhitungan matematis sudah dicontohkan dengan menggunakan Scilab dan GNU/Octave. Sebelumnya juga telah dicontohkan bagaimana Algeo dapat dimanfaatkan untuk melakukan perhitungan. Begitu pula bagaimana Maxima dan Wolfram Alpha dapat dimanfaatkan untuk belajar memahami persamaan yang memandu pemahaman terhadap kerja komponen dan sistem.

Aplikasi spreadsheet office seperti Excel, Libreoffice dan Google Sheets yang bagi beberapa orang bisa jadi terkesan low tech bila dibandingkan dengan Scilab atau Matlab dapat dimanfaatkan untuk benar-benar membantu proses belajar. Kali ini saya tampilan contoh sederhana yang dapat diterapkan untuk percobaan (eksperimen) lainnya.

Gambar  13.

Gambar  14.

Gambar  15.

Gambar  16.


Pada bagian sebelumnya (sampai Gambar 16) kondisi yang dihadapi adalah dari “pengukuran” (dilakukan dengan simulasi LTspice) didapatkan nilai Urms ac+dc dan Uaverage dc. Sedangkan nilai Urms ac dari keluaran penyearah didapatkan dari perhitungan berdasarkan nilai variabel yang diketahui.
Dengan sedikit perubahan kode pada Scilab dan Octave kita dapat mempelajari kondisi pengukuran hardware yang menghasilkan data pengukuran berupa tegangan rata-rata (average) untuk mode pengukuran DC dan tegangan efektif (RMS) untuk pengukuran AC. Simulasi pada bagian awal post ini dapat dipakai sebagai pembanding untuk hasil pengukuran dengan multimeter.

p_20161013_00095801.jpg.jpgGambar 17.


Gambar 18. Perhitungan dengan Scilab


Gambar 19.


 

Berkebalikan dari simulasi sebelumnya dalam  post ini, simulasi kali ini tidak mempergunakan nilai Vrms keluaran (AC+DC) langsung dari “pengukuran” di LTspice.

Gambar 20.

Gambar 21. Kumpulan screenshot tabel dari Google Sheets.

Gambar 22.

 

font cache: Ψ α β π θ μ Φ φ ω Ω ° ~ ± ≈ ≠ ≡ ≤ ≥ ∞ ∫ • ∆