Frekuensi, Duty Cycle, PWM

Motivasi

Di ilmu elektronika daya (power electronics) terdapat tiga komponen yang lazim dipelajari untuk penyakelaran di sistem DC (direct current). Ketiganya adalah BJT, MOSFET, dan IGBT. Untuk dapat mempelajari dasar operasi penyakelaran ketiga komponen itu kita perlu mengerti beberapa hal mendasar. Hal-hal seperti frekuensi (frequency), periode (period), gelombang kotak (square wave/rectangular wave), pulsa (pulse), PWM (Pulse Width Modulation), rata-rata/rerata (average), dan RMS (Root-Mean-Square).

Saya amati, kesulitan utama beberapa mahasiswa dalam mempelajari dasar-dasar penyakelaran di elektronika daya adalah karena kurangnya kemauan membaca. Terutama membaca ulang bahan-bahan yang sudah disediakan. Padahal di dunia modern di era kemudahan telekomunikasi data saat ini, membaca adalah salah satu bagian penting dari proses pembelajaran. Membaca, melihat/menyimak/menonton, mendengar, dan mencoba adalah bagian penting dari proses pembelajaran. Juga bagian pertama dari tahapan ATM (Amati-Tiru-Modifikasi).

Tulisan ini dimaksudkan menjadi awalan dalam bagian proses keperluan dan kewajiban mahasiswa untuk membandingkan dan menyerap informasi yang sudah sangat banyak tersedia di Internet. Informasi yang dapat dieroleh secara murah (bahkan jika saat itu sedang dapat menggunakan jaringan wifi kampus, menjadi gratis). Jika pokok bahasan dalam artikel ini tidak dapat dipahami, maka praktik di laboratorium bisa dipastikan tidak dapat berlangsung dengan baik.

 Frekuensi 

Sebagai awalan, perlu terlebih dahulu dipahami tentang istilah frekuensi. Apakah frekuensi (frequency) dan periode (period) itu?

Selain dari definisi-definisi yang telah saya kutip di atas, anda juga dapat mengetahui definisi dari persamaan sederhana seperti kutipan (screenshots) di bawah ini.

Perhitungan konversi dari frekuensi ke periode, dan sebaliknya tidaklah rumit. Dapat dilakukan dengan kalkulator sederhana, jika diperlukan. Tetapi jika diinginkan, sudah terdapat cukup banyak app (aplikasi) di Android yang juga dapat melakukan perhitungan, seperti contoh di bawah ini.

 Gelombang Sinus 

Untuk memahami frekuensi dan periode, salah satu cara yang paling mudah adalah dengan menggunakan gelombang sinus (sine wave).  Ini dikarenakan bentuk gelombang ini sudah sering diperkenalkan. Baik karena merupakan gelombang fundamental, maupun terlebih lagi pada dasarnya inilah bentuk gelombang listrik dari PLN.  Walaupun sebenarnya bisa dibahas lebih lanjut mengapa gelombang jala-jala PLN (transmisi dan distribusi) umumnya berbentuk sinus, tetapi itu untuk bahasan yang berbeda.

Gambar 1 [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]

Gambar 1 adalah contoh simulasi dari suatu sumber tegangan gelombang sinus. Gambak bisa diklik untuk mendapatkan tampilan yang lebih besar dan jelas. Bisa dilihat bahwa selisih antara kursor 2 dengan kursor 1 adalah 19,981 ms (mendekati 20,000 ms). Selisih ini akibat dari resolusi dan pengaturan posisi kursor. Bisa dilihat bahwa kedua kursor tidak memotong persis tepat di garis 0 V.

Gambar 2 di bawah ini adalah gambar untuk sumber yang sama persis dengan Gambar 1. Tetapi alat ukur diganti dengan yang lebih menyerupai kerja dan tampilan dari oscilloscope sesungguhnya. Software simulator Multisim memang memiliki fasilitas seperti ini.

Secara sederhana untuk gelombang sinus seperti ini satu periode digambarkan sebagai satu ‘bukit’ dan satu ‘gelombang’. Meskipun pengukuran bisa dilakukan dari dua titik lain. Misalnya dari ‘titik’ puncak ke ‘titik’ puncak lain. Bisa juga dari satu ‘titik’ terendah di lembah ke ‘titik’ terendah di lembah lain.

Dapat dilihat bahwa periode gelombang sesungguhnya masih sama, yaitu 20 ms. Hal ini karenanya frekuensi dari gelombang adalah 50 Hz.

Gambar 2 [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]
Gambar 3 [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]

Sebagai tambahan yang penting, lihatlah Gambar 3. Tampilannya seolah-olah menunjukkan bahwa gelombang masukan hanya berupa sinyal datar. Padahal sebenarnya input berupa gelombang sinus 50 Hz.

Kesalahan seperti ini sering terjadi di lab, saat praktikum. Pengetahuan tentang frekuensi, periode dan pengaturan time/div masih sering diabaikan, akibatnya sangat mudah dilupakan.

Gambar 2 dan Gambar 3 sebenarnya memiliki masukan yang sama. Bedanya pada Gambar 2 nilai time/div adalah 5 ms. Artinya satu kotak (besar) di layar oscilloscope itu sebanding dengan rentang waktu 5 ms. Dengan pengaturan seperti ini, sinyal yang memiliki periode 20 ms (50 Hz) akan lebih mudah terlihat secara utuh. Sedangkan pada Gambar 3 terlihat bahwa pengaturan time/div adalah 2 μS (M 2 μS). Pengaturan ini nilainya terlalu kecil, efeknya gelombang terlalu di-zoomoverzoomed.

Analogi/perumpamaannya adalah seperti jika anda melihat mobil roda empat dengan jarak terlalu dekat, anda mungkin hanya melihat pintunya saja. Bahkan mungkin hanya akan dapat melihat bagian kecil dari pintu mobil itu.

Untuk menghindari hal serupa ini, akan sangat membantu kalau anda dapat mengetahui berapa nilai nominal frekuansi masukan. Atau setidaknya dapat menduga kisaran frekuensi/periode dari gelombang yang hendak diukur. Kalau sama sekali tidak memiliki dugaan kuat, maka kadang-kadang perlu malakukan percobaan perubahan nilai time/div dengan cara memperbesar dan kemudian lalu memperkecil nilainya.

 Gelombang Kotak 

Sebelum melanjutkan membaca halaman ini, saran saya, bukalah beberapa tautan (link) berikut ini. Setidaknya lihat gambar/grafik yang baik di situs-situs ini. Gambar akan memudahkan kita memahami tentang sinyal gelombang kotak:

  1. www.electronics-tutorials.ws : Electrical Waveforms
  2. Tutorial 2 – Waveforms
  3. How to derive the rms value of pulse and square waveforms

Setelah membuka dan membaca ketiga link di atas, maka kita bisa melanjutkan ke langkah berikutnya.

Gambar 4 [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]
Gambar 5 [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]

Gambar 4 adalah simulasi gelombang kotak (pulse) yang dilakukan di PartSim (www.partsim.com). Simulasi seperti ini tentu dapat juga dilakukan di Multisim, seperti sebelumnya. Namun kita kali ini  menggunakan simulator yang gratis bebas pakai. Untuk menggunakannya tidak perlu proses instalasi program tetapi cukup akses Internet dan browser seperti Google Chrome. 

Gambar 5 adalah tampilan hasil dari simulasi. Telah diketahui sebelumnya dari Gambar 4 bahwa periode gelombang adalah 2 ms. Artinya, frekuensi dapat dihitung dan menghasilkan nilai frekuensi sebesar 500 Hz. Pada Gambar 5, penanda poin 1 menunjuk pada awal pengukuran salah satu periode, yaitu pada 0 second. Poin 2 menunjuk pada 2 ms. Gelombang ini periodik, terus berulang dengan nilai yang sama, Khusus untuk tampilan ini, diperlihatkan terakhir dari 8 ms sampai 10 ms. Tentu saja gelombang sebenarnya masih terus berlangsung setelah batas itu, hanya saja tidak diperlihatkan pada tampilan hasil simulasi.

Sebagai tambahan, Gambar 5 menunjukkan juga bahwa pulse berlangsung di antara dua nilai tegangan yaitu antara 0 V dan 5 V.  Gelombang juga merupakan sinyal yang memiliki duty cycle sebesar 50 %.

Apakah yang dimaksud dengan duty cycle itu?

Gambar 6 [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]
Gambar 7 [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]

Gambar 6 dan Gambar 7 berasal dari web site perusahaan peralatan instrumen elektrikal dan elektronik, Fluke.  Silakan mengunjungi situs itu untuk membaca keterangan yang menarik mengenai pulse width dan duty cycle.

Secara sederhana yang dimaksud dengan istilah pulse width untuk keperluan ini adalah waktu ON (aktif). Seperti yang diperlihatkan pada Gambar 6, rentang waktu OFF tidak dihitung sebagai pulse width.

Sebagai wawasan, penting untuk diketahui bahwa tidak semua sumber informasi menyatakan hal yang persis sama. Untuk itu perlu pengetahuan dan kewaspadaan untuk memahami apa yang sebenarnya yang dimaksud oleh para penulis. Sehingga kita bisa mengelompokkan tipe/jenis informasi.

Misalnya , pengertian mengenai pulse width di paragraf sebelumnya mengacu pada apa yang dikutip oleh Fluke. Tetapi perlu diketahui bahwa tidak semua menyatakan hal yang sama persis. Salah satunya adalah bagaimana situs www.electronics-tutorials.ws menyatakan satu siklus penuh pulsa (satu periode) sebagai berikut.

rectangular waveform

Pertama, mudah dilihat bahwa terdapat istilah Positive Half dan Negative Half. Meskipun sebenarnya tidak satu pun yang berada di wilayah polaritas negatif. Tetapi ini bahasan untuk lain waktu di lain artikel. Kedua, yang terpenting untuk artikel ini adalah tentang lebar pulsa.

Pada situs itu disebutkan istilah positive pulse width (yang kadang disebut sebagai Mark) dan negative pulse width (juga disebut sebagai Space). Ini tentu bebeda dengan penyampaian di situs Fluke yang tegas menyatakan bahwa, “Pulse width is a measure of the actual ON time, measured in milliseconds. The OFF time does not affect signal pulse width. The only value being measured is how long the signal is ON (ground-controlled).

Meskipun ada lebih dari satu pengertian mengenai pulse width, kita bisa memakai pengertian bahwa yang dimaksud dengan istilah duty cycle adalah perbandingan antara waktu ON (pulse width = pulse active time) dengan periode.

{\displaystyle D={\frac {PW}{T}}\times 100\%}

{\displaystyle D={\frac {PW}{T}}}

Kedua persamaan di atas saya salin dari Wikipedia, dan dapat ditemukan perbandingannya di banyak sekali sumber.

Notasi D adalah duty cycle, PW adalah pulse width (pulse active time), dan T adalah total periode dari sinyal.  Duty cycle umumnya diukur dalam % (persen) seperti pada persamaan pertama. Meskipun juga dapat ditampilkan seperti pada persamaan yang kedua.

Bandingkanlah antara Gambar 5, Gambar 7, dan Gambar 8 berikut ini. Pada Gambar 5, nilai duty cycle adalah 50 %. Rentang waktu ON (pulse width) sama dengan rentang waktu OFF. Pada Gambar 7, terdapat gambar tampilan tiga gelombang yang masing-masing bernilai 10%, 50 %, dan 90 %. Amati keterangan detail mengenai rentang waktu pada masing-masing gelombang. Lalu berapakah nilai duty cycle pada Gambar 8?

Terdapat tiga runtutan pulsa di Gambar 8, ini adalah gambar gelombang periodik. Jika gambar diperbesar dengan cara meng-kliknya, bisa lebih mudah dilihat bahwa bagian pertama adalah dari 0 ms sampai 20 ms, berikutnya dari 20 ms sampai 40 ms, lalu dari 40 ms sampai 60 ms. Ini adalah sinyal dengan periode sebesar 20 ms (artinya memiliki frekuensi sebesar 50 Hz).

Penanda poin satu menunjuk pada awal dari pulsa yang perama, yaitu di 0 ms. Poin kedua ada di 5 ms, ini menunjukkan batas rentang waktu ON (pulse width). Point ketiga adalah akhir dari satu gelombang penuh, nilainya adalah nilai periode. Pada pengaturan seperti ini dapat dihitung bahwa nilai duty cycle adalah:

hasilnya adalah 25 % (atau 0,25).

Gambar 8 [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]
Gambar 9 [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]

Ada banyak sumber sinyal yang bisa memberi variasi lebar pulsa. Misalnya komponen mikrokontroler, dan alat function generator. Gambar 9 adalah hasil pengukuran dari keluaran sinyal PWM dari sistem Arduino.

Dapat dilihat bahwa pada satu papan Arduino, terdapat dua frekuensi PWM. Yang pertama 490 Hz (490,3 Hz dalam pengukuran seperti yang ditampilkandi Gambar 9), dan yang kedua adalah 980 Hz (976,8 Hz dalam pengukuran). Lalu apakah PWM itu?

 PWM (Pulse Width Modulation) 

Meskipun ada beberapa cara dan redaksi yang dipergunakan untuk membahas mengenai PWM, di artikel ini hanya akan disajikan yang sederhana dan paling operasional saja. Selebihnya, dapat dipelajari lebih dalam dari berbagai sumber. Bisa dimulai dari sejumlah link di bagian akhir artikel ini.

Pengertian tentang PWM dapat ditinjau dari berberapa sudut pandang. Misalnya dari sudut pandang filosofi dan dari sudut pandang operasional (aksi).

Dari sisi filosofi, salah satu sumber menyatakan pada prisipnya PWM adalah suatu upaya (cara/metode) untuk mendapatkan sinyal analog dari sumber digital. Sumber lain menyatakan PWM adalah cara/metode untuk mengatur jumlah daya (power) yang tepat untuk diberikan ke beban, sehingga dapat mengurangi energi yang terbuang sia-sia. Sumber lain lagi menyatakan bahwa PWM ada cara/metode untuk bisa mendapatkan level tegangan (tegangan rata-rata) yang lebih rendah daripada nilai tegangan maksimum masukan. 

Dari sisi operasional/aksi kendali, PWM adalah metode mencacah satu sinyal masukan dan membagi-baginya ke dalam serentetan sinyal modulasi digital yang terdiri dari ON dan OFF. Pada PWM frekuensi tetap tetapi lebar pulsa yang bervariasi, tergantung pada pengaturan. Gambar 9 dan gambar-gambar sebelumnya (yang serupa) merupakan contoh penerapan PWM.

Pembahasan mengenai PWM sangat erat kaitannya dengan pembahasan frekuensi, periode, dan duty cycle. Ketiganya telah dibahas sebelumnya dan merupakan fondasi untuk mempelajari dan memahami dasar mengenai PWM.

Cara-cara untuk membangkitkan sinyal PWM tidak dibahas di artikel ini. Begitu pula mengenai tipe-tipe sinyal PWM. Beberapa tautan yang disediakan di akhir artikel ini sudah memberikan keterangan awal mengenai hal-hal tersebut.

Gambar 10
Gambar 11 [ Klik gambar untuk memperbesar tampilan ]

Gambar 10 yang diperoleh dari Wikipedia memperlihatkan animasi bagaimana aksi pengubahan lebar pulsa pada PWM. Sedangkan Gambar 11 yang diperoleh dari situs Arduino menunjukkan beberapa gelombang dengan PWM dalam beberapa nilai lebar pulsa yang berbeda. Pada pengaturan yang ideal, saat 0 % tidak akan ada nilai high yang dihasilkan. Keluaran selalu dalam kondisi low (OFF). Sebaliknya pada saat 100 %, idealnya sinyal keluaran secara terus menerus tanpa jeda berada dalam kondisi high.

Gelombang kotak, gelombang sinus dan harmonisa

Tahukah anda cerita mengenai silang pendapat tentang benda yang disebut sebagai seekor gajah?

http://www.nature.com/ki/journal/v62/n5/fig_tab/4493262f1.html

Kali ini kita akan melihat “seekor gajah” dari salah satu sisi. Kita kenali salah satu bagian yang (bersama bagian yang lain) membuat sebuah benda dinamai “gajah”.

 

Gelombang sinusoida dapat dipakai sebagai dasar untuk membentuk gelombang lain, misalnya gelombang kotak. Dengan kata lain suatu gelombang kotak dapat didekonstruksi menjadi beberapa gelombang sinusoida.

Berikut adalah beberapa contoh gambar dari beberapa sumber di Internet yang memperjelas konsepnya secara sederhana. Pertama mari melihat dua buah gelombang sinus yang memiliki amplitudo yang sama (puncak yang tingginya sama) tetapi berbeda nilai frekuensinya.

Gambar 1. sumber gambar: [1]

Gambar 1 adalah visualisasi pada ranah waktu (time domain) sedangkan gelombang yang sama bisa digambarkan dengan cara yang berbeda di ranah frekuensi (frequency domain) seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.

Gambar 2. sumber gambar: [1]

Bisa dilihat pada Gambar 2 bahwa nilai frekuensi untuk dua gelombang adalah jelas berbeda (x dan 3 kali x), tetapi besar nilai amplitudonya sama. Diwakili oleh ruas garis yang tingginya sama.

Gambar 3. sumber gambar: [1]

Ada tiga buah gelombang yang berbeda pada Gambar 3. Bisa kita lihat akibat dari penggabungan sejumlah gelombang yang berbeda frekuensi dan amplitudonya pada satu gelombang. Dengan pengaturan tertentu, kita bisa melihat bahwa gelombang ketiga yang merupakan gelombang hasil gabungan dari beberapa gelombang sudah menyerupai bentuk dari gelombang kotak.

Gambar 4. sumber gambar: [2]

Atau kalau kita mencoba melihat dari sudut yang berbeda (arah datang yang lain) maka kita bisa mengatakan bahwa sebuah gelombang “yang menyerupai gelombang segi empat” dapat diuraikan menjadi beberapa gelombang sinusoida yang memiliki besar (amplitudo) dan frekuensi tertentu seperti terlihat pada Gambar 4.

Gambar 5. sumber gambar: [2]

Bentuk gelombang serupa dengan gelombang terakhir pada Gambat 3 bisa ditampilkan terpisah agar lebih jelas seperti pada Gambar 5. Tiga buah gelombang sinus membentuk gelombang yang mendekati bentuk segi empat yang diberi warna hijau.

 

Gambar 6. Persamaamaan dasar pembentukan gelombang segi empat (w/harmonics)
sumber gambar: [3]

Gambar 7. Contoh pengerjaan untuk frekuensi dasar 100 Hz
sumber gambar: [3]

 

Gambar 8. Gelombang segi empat yang dibentuk/terdiri dari tiga harmonics
sumber gambar: [3]

Gambar 9. Gelombang segi empat yang dibentuk/terdiri dari lima harmonics
sumber gambar: [3]

Gambar 10. Gelombang segi empat yang dibentuk/terdiri dari dua puluh lima harmonics
sumber gambar: [3]

Sebuah gelombang kotak (segi empat) yang “sempurna” dapat dibentuk jika kita memiliki lebar pita harmonisa (harmonics) yang tidak terbatas. Dengan kata lain suatu gelombang yang semakin mendekati bentuk gelombang kotak maka akan semakin memiliki banyak harmonics.

Gambar 11. sumber gambar: [3]

Bandingkan antara Gambar 11 dengan Gambar 12 berikut ini.

Gambar 12. sumber gambar: [2]

 

Gambar 13. Visualisasi 3D untuk kawasan waktu dan kawasan frekuensi
sumber gambar: [2]

Gambar 14. sumber gambar: [4]

 

Gambar 15. sumber: http://rebloggy.com/

The smooth motion of rotating circles can be used to build up any repeating curve even one as angular as a digital square wave. Each circle spins at a multiple of a fundamental frequency, and a method called Fourier analysisshows how to pick the radiuses of the circles to make the picture work.Decomposing signals like this lies at the heart of a lot of signal processing.

 

 

REFERENSI:

[1] https://georgemdallas.wordpress.com/2014/05/14/wavelets-4-dummies-signal-processing-fourier-transforms-and-heisenberg/
[2] http://electronics.stackexchange.com/questions/32310/what-exactly-are-harmonics-and-how-do-they-appear
[3] http://recordingology.com/in-the-studio/distortion/square-wave-calculations/
[4] http://www.planetoftunes.com/sound-audio-theory/complex-soundwaves.html#.Vf69131GSPc

Mengapa sinusoid?

Artikel ini adalah pembaruan dari artikel yang sama di blog lama saya di pikirsa.wordpress.com.


Saat belajar mengenai elektronika, elektrikal, listrik atau sistem daya, kadang-kadang jika kita memiliki rasa ingin tahu yang cukup baik maka kita akan bertanya-tanya,”Mengapa gelombang arus bolak-baik selalu berbentuk gelombang sinus?”

Meskipun tentu nyatanya di seluruh penjuru bumi tidak selalu bentuk gelombang arus bolak-balik itu merupakan gelombang sinus. Tetapi memang bentuk paling dasar dari berbagai gelombang periodik memang gelombang sinus. Pertanyaannya adalah: mengapa? Ada juga yang bertanya mengapa bentuk gelombang sinus yang dipilih untuk sistem arus bolak-balik?

Pertama, sebenarnya tidak ada yang manusia yang memilih bentuk sinusoid untuk AC (alternating current), setidaknya sebatas pengetahuan saya (AFAIK). Bentuk gelombang itu adalah konsekuensi langsung dari sistem fisis yang ada. Khusus untuk sistem kelistrikan kita bisa dengan mudah menghubungkannya dengan bentuk umum generator pembangkit tegangan.

Lalu apa hubungannya antara bentuk generator dengan bentuk gelombang yang naik-turun-berbaik arah itu? Pertama-tama mari perhatikan bentuk dari generator yang disederhanakan.

Gambar 1. Sumber gambar:
http://www.electronics-tutorials.ws/accircuits/sinusoidal-waveform.html

Untuk bisa memahami bagaimana tegangan dihasilkan dari perputaran rotor kita bisa melihat kembali aturan-tangan-kanan Fleming.

Gambar 2. Sumber gambar: http://goo.gl/7zpXJE

Gambar 3. Sumber gambar:
http://hvacreducation.net/ExampleLessons/module2_112-4.html

Dengan membandingkan antara Gambar 3 dengan Gambar 1, kita bisa melihat mengapa gelombang yang dihasilkan berupa gelombang sinus. Berikutnya untuk mendapatkan abstraksi yang lebih baik, kita bisa melihat pada Gambar 4 berikut.
Gambar 4. Sumber gambar:
http://giphy.com/gifs/wave-ac-exchange-F5rQlfTXqCJ8c

Gambar 5. Sumber gambar: http://goo.gl/i59TZl

Gambar 5 memberikan tampilan animasi yang lebih lambat dari Gambar 4, sehingga kita bisa melihat dengan lebih seksama korelasi antara posisi rotor dengan pada titik-titik pada bentuk gelombang yang dihasilkan.

Gambar 6. Sumber gambar:
http://www.technologyuk.net/mathematics/trigonometry/sine_function.shtml

Gambar 6 adalah sistem yang sama, hanya saja penempatan “generator” dan gelombang tegangan keluaran saja yang ditukar posisinya.

Gambar 7. Sumber gambar:
http://www.electronics-tutorials.ws/accircuits/sinusoidal-waveform.html

Untuk setiap saat tertentu (instantaneous) kita dapat menghitung berapa nilai tegangan saat itu sebagai fungsi dari sudut fase generator.

Gambar 8. Sumber gambar:
http://www.electronics-tutorials.ws/accircuits/sinusoidal-waveform.html

Pada Gambar 8 diperlihatkan beberapa posisi untuk sudut kelipatan 45°.

Gambar 9. Korelasi loop pada rotor dengan gelombang tegangan
Sumber gambar: http://goo.gl/4dO9KJ

Gambar 10. Sumber gambar:
https://en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator

Gambar 11. Persamaan untuk menghitung nilai tegangan sesaat.
Sumber gambar: http://www.electronics-tutorials.ws/accircuits/sinusoidal-waveform.html

Gambar 12. Sumber gambar:
http://tinkerine.com/pseudo-sine-wave-generator-ditto/

Pada Gambar 12, kita bisa melihat bagaimana bentuk sinusoid dapat dihasilkan dari “generator” sederhana seperti itu.

Gambar 13. Sumber gambar: https://goo.gl/tf8LYR

Jika pada gambar-gambar sebelumnya kita melihat hanya dari satu sudut pandang saja, maka pada Gambar 13 kita bisa melihat dari dua sudut pandang. Yang pertama, tepat dari arah depan, persis seperti pada gambar-gambar sebelumnya dan satu dari samping. Dengan cara ini kita bisa melihat dimensi yang berbeda dari satu fenomena yang sama.

Gambar 14. Sumber gambar: https://goo.gl/tf8LYR

Gambar 15. Sumber gambar: https://goo.gl/tf8LYR

Gambar 16. Sumber gambar:
https://en.wikipedia.org/wiki/Phasor

Gambar 17. Sumber gambar: http://goo.gl/Q12G6K

Gambar 18. Sumber gambar:
https://en.wikipedia.org/wiki/Talk%3ASimple_harmonic_motion

Gambar 19. Sumber gambar:
http://www.iflscience.com/brain/math-gifs-will-help-you-understand-these-concepts-better-your-teacher-ever-did

Gambar 20. Sumber gambar: http://www.gailruby.com/SHMGraph.htm

Gambar 21. Sumber gambar: http://goo.gl/x765kH

Gambar 22. Sumber gambar:
http://www.mysearch.org.uk/website1/html/221.SHM.html

Gambar 23. Sumber gambar:
http://www.rmcybernetics.com/projects/experiments/experiments_resonance_simple_harmonic_motion.htm

UPDATE 24/09/2015

sumber: http://math-is-beautiful.tumblr.com/

sumber: http://rebloggy.com/

font cache: Ψ α β π θ μ Φ φ ω Ω ° ~ ± ≈ ≠ ≡ ≤ ≥ ∞ ∫ • ∆

 

Referensi tambahan: